《超越数》（德）西格尔著；魏道政译|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载

图书名称：《超越数》

【作　者】（德）西格尔著；魏道政译

【丛书名】数论经典著作系列

【页 数】 61

【出版社】 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社 , 2011.03

【ISBN号】978-7-5603-3187-4

【价 格】18.00

【分 类】超越数

【参考文献】 （德）西格尔著；魏道政译. 超越数. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社, 2011.03.

图书封面：

图书目录：

《超越数》内容提要：

本书是一本系统介绍超越数理论的图书，包括超越数论的古典结果、适合于齐次线性微分方程组的某些函数值的代数无关性等内容。

《超越数》内容试读

Transcendental Number

指数函数

在超越数方面最为著名的结果就是Lindemann在第

1882年所证明的π的超越性.他的方法基于Hermite.早先的工作，Hermite在1873年发现了e的超越性.这两个结果都包含在广义的Lindemann-Weierstrass定理之中，这个定理我们将在§12中证明.我们先从几个比较简单的问题，就是先从e和T的无理性及一些有关的问题开始，

§1e的无理性

e的无理性的常见的证明如下：分级数

章

e

为两部分

e=5n+Tn,5n=】w=三守a1,2因为

T=

ntr1+n+2+a+2a++）

所以我们得到

1

e=s1+71<2+e-1e

2,e<3

因此

2

0

命

n!s=an,n!rn =b

则a.是整数而

0<6.

这证明了n！e(n！e=a,+bn)绝不是一个整数，从而ne绝不是一个整数.换句话说，e是无理数.

假如我们用e1的级数来代替e的级数，则证明就更简单些.此时

。=a=宫豆

及

1

0<(-1)…p=n+1川-n+2)1+<(n+1)川命

n！Om=an,n!Pa=B。

则可知α，是整数及

0<(-1)B<1

所以n！e(n!e1=,+Bn)绝不是一个整数，从而ne1绝不是一个整数.

我们还可以证明得更多一点，即证明e不是一个二次方程ax2+bx+c=0的根，这里a,b,c是不全为0的整数.考虑式子

En=n！(ae+ce-1)

其中整数a和c不同时为0.把此式的右端展开，便有

E=S+R

S=aan +can

R=ab+cB

其中S。是整数，而绝对值

I R.1=l ab,I+l cBI<21al+l cln+1

因此对于所有不小于21a|+1cl的n,都有

IRI<1

另一方面从递推公式

2

超越数

Transcendental Number

即

B=co(1+D)-xM

用同样的方法可以求得A

D(Ae*)=Da+I(Re*)e*(-1+D)n+lA=cox"+…

(-1+D)n+1A=e(cox+…)=cx"+…=cox”

A=co(-1+D)-m-1x

这证明，除了任意的常数因子co外，A和B是唯一的.如果取co=1,则

A(x)=(-1+D)-x,B(x)=(1+D)m-x

(9)

都具有整系数.其次，由(7)和(8)

D+R=x"e*

因为R和它的首n次导数在点x=0的值都等于0，所以由(3)，得到

R=DR=nx-0red,n=01,

即

=jr1-rea=0.1

(10)

于式(10)中以1-t代t,得到

R-r1-ea

所以最后得到

R)=e∫(1-esh1(:-xd山，a=0,1(11)

§4对于有理数a≠0，数e的无理性

由(10)可知，对于任何复数x

1R(x)1≤xI2-e到

n！

(12)

又对于任何正数x

R(x）>0

(13)

现在设x=m是一个正整数，于是A(m)和B(m)都是整数.设e"是有理数，且9>0是它的分母，则由(6)

gR(m)=r

是整数.但由(12)和(13)，对于所有充分大的n

5

0

n！e"=qme"m

n!<1

这是一个矛盾，

因此，所有的乘幂e(m=1,2,…)都是无理数.假如a是任意一个不等于0

的有理数，则可以把它写成a=?,其中整数m>0,r≠0.由e”=(e)'即知，

对于任何有理数a≠0，数e“都是无理数，

§5π的无理性

我们已知，n次多项式A(x)与B(x)由公式

B(x)e*+A(x)=R(x)=cx2n+1+...

(14)

唯一地决定，其中c≠0是已给的常数.以-x代x,并乘以e,便得

A(-x)e+B(-x)=e*R(-x)=-cx2a+1+…

因此

A(-x)=-B(x)

(15)

此式也可以用A和B的表示式(9)来证明.

取x=i,并应用(11)，(14)及(15)，则有

e=i,cosh(t)x=cos(t)=sin mt

A(ri)+A(-πi)=R(πi)

(16)

-(-1c1-nt

(17)

被积函数在区间0<1中是正的，所以

R(i)≠0

(18)

函数A(x)+A(-x)是变数的v=[2]次整系数多项式倘若是一个有理数，9>0是它的分母，则由(16)，数是一整数.但由(17)和(18)可知，对于所有充分大的n

0<1j1≤ma<1

n!

此矛盾证明了2是无理数，因而T本身也是无理数

6

超越数

···试读结束···